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        亞里士多德對計算機奠基的貢獻

        亞里士多德對計算機奠基的貢獻

        • 分類:理念分享
        • 作者:
        • 來源:
        • 發布時間:2021-08-19 09:17
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        【概要描述】

        亞里士多德對計算機奠基的貢獻

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        亞里士多德計算機奠基的貢獻

         

        日期:2021年8月19日9:05

               計算機史往往是從實物史的角度進行講述,先是算盤,然后是巴貝奇差分機,再到二戰時的密碼分析機,把計算機理解為想法史更好,這些想法誕生自數理邏輯,這是一門形成于19世紀,晦澀難懂、像邪教一樣的學科。數理邏輯的先驅是身兼哲學家與數學家雙重角色的人,其中最著名的是George Boole(喬治·布爾)和Gottlob Frege(戈特利布·弗雷格),他們又受到萊布尼茨通用的“概念語言”這一夢想以及亞里士多德古代邏輯體系的啟發。

               數理邏輯被認為是一門抽象到令人絕望的學科,一位計算機科學家說:“如果在1901年,一位有才且敏銳外行人士接受科學調查,指出哪一個學科分支在下一世紀最不可能結出碩果的話,他的選擇很有可能就會是數理邏輯?!币粋€比任何其他領域對現代世界的影響都要大的領域,其基礎是由數理邏輯來奠定的。

               以兩篇標志性的論文為標志,發端于數理邏輯的計算機科學革命在1930年代達到了頂峰:一篇是克勞德·香農的《繼電器與開關電路的符號分析》,另一篇是阿蘭·圖靈的《論數字計算在決斷難題中的應用》。在計算機科學史上,香農與圖靈是兩位杰出的人物,但是他們之前的哲學家和邏輯學家的重要性卻經常為人所忽視。

               計算機科學史把香農的論文描述為“可能是本世紀最重要,也是最著名的碩士論文?!毕戕r是在MIT攻讀電子工程學位的時候寫下這篇論文的。導師,Vannevar Bush,開發了一款名為微分分析機的計算機原型,這個機器可以快速計算微分方程。設備幾乎是機械式的,子系統由繼電器來控制,采用臨時的方式加以組織,因為當時還沒有系統性的理論來支撐電路設計。香農的論文主題是在Bush尋找此類理論的建議下提出的。

               數學可以定義為我們永遠不知道自己在說什么的一門學科,香農這篇電子工程論文,里面充斥方程式、電子電路圖。主要參考的是已有90年歷史的數學哲學,George Boole(布爾)的《思維的定律》。今天,布爾的名字已經為計算機科學家所熟知(很多編程語言都有布爾型這一基本的數據類型),但在1938年的時候,他是鮮為人知的,香農本人是在上一門本科哲學課時偶然接觸到布爾的作品的。他后來評論說:“當時剛好沒有其他人同時熟悉這兩個領域?!?/span>

               布爾往往被描述成是數學家,但他自認為是哲學家,效法的是亞里士多德?!端季S的定律》以描述他的目標作為開始,也就是要探究人類思維運作的基本定律:后續論述的目的,是要探究進行推理的思維運作的基本定律,以微積分符號語言的形式表示出來,并在此基礎上建立邏輯學……以及最終搜集……一些有關人類思維的本質和構成的啟示。

               然后他開始稱贊邏輯的發明者亞里士多德, 以及他自己工作的主要影響:古代形式和學術形式的邏輯學幾乎都僅跟跟大名鼎鼎的亞里士多德有關。在古希臘的那本部分技術、部分形而上學的專題論述《工具論》中呈現的這一學科,延續至今幾乎沒有任何變化。

               試圖改進亞里士多德的邏輯性工作從理性上來說是一項大膽的舉動。在分為6冊的《工具論》中論述的亞里士多德邏輯學,占據學術經典的中心位置超過了2000年。大家普遍認為亞里士多德幾乎已經把這個主題所有能寫的東西都寫出來了。偉大的哲學家康德評論道,自亞里士多德以來,邏輯一直“都無法前進一步,因此顯然已經是完備的了?!?/span>

               亞里士多德的核心觀察是,論斷的正確與否取決于其邏輯結構,獨立于所包含的非邏輯性詞語。他討論的最著名的論辯圖式是所謂的三段論:

               · 所有人都是必死的。

               · 蘇格拉底是人。

               · 蘇格拉底是必死的。

               把“蘇格拉底”替換成任何對象,“必死”也可以替換成任何斷言,但該論斷依然正確。這一論斷的正確性主要取決于邏輯結構。邏輯詞——“所有”、“是”,以及“因此”就已經把所有的工作做完了。

               亞里士多德還根據他對自身邏輯體系的其他部分的推斷定義了一組基本公理:

               · 任何對象均與自身等同(同一律)

               · 任一命題不能既真又不真(矛盾律或無矛盾律)

               · 一個命題要么是真的要么是假的(排中律)

               這些公理是描述一個理想化的、完全理性的人應該是怎么思考的。亞里士多德的公理化方法影響了歐幾里得的《幾何原本》?!稁缀卧尽繁砻嫔现v的是幾何,但它卻成為了教學嚴格演繹推理的標準教科書。(林肯曾經說過,他是通過學習幾何原本來學會進行可靠的法律論證的。)在歐幾里得的體系當中,幾何學想法是以空間圖的形式呈現的。幾何學一直都沿用這種做法,直到1630年代,笛卡爾證明了幾何也可以用方程式的形式展現。他的《方法論》是西方首次普及現在已成為標準的代數標記法(x、y、z代指變量,a、b、c代指常量)的數學文本。

               笛卡爾的代數使得數學超越了空間直覺,可以用精確定義的形式規則來操縱符號。這使得數學的主導模式從圖形轉變成了方程式,從而導致了微積分等事物的發展,后者是在笛卡爾之后約30年左右分別由牛頓和萊布尼茨發明出來的。

               布爾的目標是像笛卡爾為歐幾里得的幾何所做的事情那樣替亞里士多德的邏輯做一件事情:將它從人類直覺的限制中解放出來,賦予它一個精確的代數符號,當亞里士多德寫到:所有人都是必死的。

               布爾就用變量來代替“人”和“必死”,把邏輯詞“所有”和“是”用算術運算符來代替:x = x * y。這可以解析為“x集的一切均處于y集當中?!?/span>

               《思維規律的研究》創立了數理邏輯,這門學科后來幾年成為了數學家和哲學家最活躍的研究領域之一。羅素把《思維規律的研究》稱為是“發現了純粹數學的作品?!毕戕r對布爾體系的洞察可以直接映射到電子電路上。那時候,電子電路的設計并沒有系統性的理論支持。香農意識到合適的理論“正好類似用于邏輯的符號研究的命題演算?!彼€用一張簡單的圖表來說明電子電路于布爾運算的一致性:

        香農從電子電路到符號邏輯的映射(弗吉尼亞大學)

               這種一致性使得計算機科學家將布爾以及后學邏輯學家數十年在邏輯與數學方面的工作導入進來。香農在那篇論文的下半部分里還展示了布爾邏輯如何可以為兩個二進位的相加創建電路。

        香農的加法電路(弗吉尼亞大學)

               通過將這些相加電路連在一起,可以構造出任意復雜度的算術運算。這些電路將成為所謂的算術邏輯單元的基本構建塊,而后者正是現代計算機的關鍵部件。

               香農是第一個區分了計算機的邏輯層和物理層的人。(這種區分對于計算機科學實在是太重要了,驗證了格言“上一世紀的哲學是下一世紀的常識。”)

               香農的論文之后,計算機在物理層取得了巨大進展,1947年William Shockley和他在貝爾實驗室的同事發明的晶體管。晶體管是香農繼電器的極大改進版——是已知的對布爾操作進行編碼的最好方式。此后的70年時間里,半導體行業把越來越多的晶體管塞進了越來越小的空間內。一臺2016年的iPhone大概有33億個晶體管,它們每一個都是像香農的圖解里面的“繼電器開關”。

               香農展示了如何將邏輯映射到物理世界,圖靈則展示了如何以數理邏輯的語言去設計計算機。圖靈1936年的論文是試圖解決“決策問題”,這個問題首先由大衛·希爾伯特提出,他問有沒有一種算法可以決定任意數學判斷的真偽。跟香農的論文相比,圖靈的論文是高度技術性的。其主要的歷史意義并不在于對決策問題的回答,而在于在解決問題的過程中提供了一個計算機設計的模板。

               圖靈攻關的是一項要追溯到發明微積分的哲學偉人萊布尼茨的傳統。萊布尼茨對現代思想的貢獻中,有“普遍特征”的新語言的想法,他設想的這門語言應該可以表示所有可能的數學和科學知識。其靈感部分源自于13世紀的宗教哲學家Ramon Llull,萊布尼茨設想這種語言應該是想埃及的象形文字那樣的表意文字,只是它的字符相當于數學和科學的“原子”概念。他提出,這門語言將賦予人類一種“工具”這種工具可極大地增強人類的推理,遠比像顯微鏡和天文望遠鏡那樣的光學儀器要強得多。他還設想有一種機器能處理這門語言,他把這種機器稱為推理演算器。如果出現爭議的話,就像兩位會計之間不需要有爭議一樣,兩位哲學家之間也將不再需要爭論,他們只需算。

               萊布尼茨并沒有機會發展他的通用語言或者相應的機器(盡管他的確發明了一種相對簡單的計算機器,步進計算器)。實現萊布尼茨夢想的第一次可靠嘗試發生在1879年,當時的德國哲學家弗雷格發表了標志性的邏輯論著《概念文字》。受到布爾試圖改進亞里士多德的邏輯學的啟發,弗雷格開發了一套先進得多的邏輯體系。今天哲學和計算機科學課上教的邏輯學,也就是一階邏輯或者謂詞邏輯,只不過是弗雷格體系的略微改變罷了。

        弗雷格被普遍認為是19世紀最重要的哲學家之一,他促進了著名哲學家Richard Rorty所謂的哲學的“語言學轉向”。正如啟蒙哲學癡迷于知識的問題,弗雷格之后的哲學癡迷于語言的問題。他的門徒包括了20世紀的兩位最重要的哲學家——羅素和維特根斯坦。

               弗雷格邏輯學的主要創新是以精確得多的方式表示了普通語言的邏輯結構。弗雷格還是第一個使用量詞以及將對象與謂詞分開的人。他還是第一個定義了遞歸函數以及帶范圍和綁定的變量等今天計算機科學的基礎概念的人。

               弗雷格的形式語言,也就是他所謂的“概念腳本(concept-script)”由無意義的符號組成,而這些符號由明確定義的規則操縱。語言僅由一個解釋賦予含義,而后者是單獨指定的(這一區分后來被稱為語法與語義之別)。這就把邏輯變成了杰出計算機科學家Allan Newell和Herbert Simon所謂的“符號游戲”,“根據純粹的語法規則擺弄無意義的令牌?!?/span>

               所有意義均已被凈化。這樣就有了一個各種事情均可被證實的機械系統。于是我們通過繞開所有那些似乎與含義及人類符號有關的東西而首先取得進展。

               羅素著名的諷刺所說那樣:“數學是我們永遠不知道我們在說什么,也不知道我們說的是否對的一門學科?!?/span>

               弗雷格的工作的一個意想不到的后果是發現了數學基礎的弱點。數千年來被認為是邏輯嚴密性的歐幾里得《幾何原本》原來在邏輯方面卻是錯漏百出。因為歐幾里得使用了像“線”和“點”這樣的普通詞語,所以他以及諸世紀以來的讀者都受到了欺騙,對包含這些字詞的句子做出假設。我們可以舉個相對簡單的例子,在日常使用中,“線”這個詞隱含的意思是如果給出一條線上的3個不同的點,其中一點必位于另兩點之間。但是當你用形式邏輯定義“線”時,結果連“之間”也需要進行定義——而這個是歐幾里得所忽視的。形式邏輯使得類似的缺口很容易就能被識別出來。

               這種實現給數學基礎制造了一次危機。如果《幾何原本》這本數學的圣經包含有邏輯錯誤的話,其他數學領域是不是也有呢?物理等其他建構在數學基礎上的科學又該怎么辦?好消息是用于發現這些錯誤的相同邏輯方法也可以用來修正它們。數學家開始自底向上重建數學基礎。1889年,Giuseppe Peano(朱塞佩·皮亞諾)提出了算術的公理,1899年,希爾伯特對幾何做了同樣的事情。希爾伯特還提出了一個將數學的其他部分一并進行形式化的計劃,并指出任何此類嘗試都應該滿足以下需求:

               · 完整性:應該能證明所有真的數學論述可以在形式化系統里面加以證明。

               · 可判定性:應該有一個算法來確定任何數學判斷的真偽。(這就是圖靈論文里面提到的“可判定性問題”或者“決策問題”。)

               以滿足這些需求的方式來重建數學就成為了的希爾伯特計劃。直到1930年代,這都是包括希爾伯特、羅素、庫爾特·哥德爾、馮·諾依曼、阿隆佐·邱奇以及阿蘭·圖靈在內的一群邏輯學家的主要關注點。

               科學的新穎性只有在困難中凸顯。希爾伯特的計劃至少在兩個方面取得了進展。一是邏輯學家創造了一套邏輯體系,試圖證明希爾伯特的需求是否可滿足。二是數學家利用邏輯概念重建了經典數學。比方說,皮亞諾的算術系統從一個叫做后繼函數的簡單函數開始,可以對任何數字加一。他利用后繼函數來遞歸定義加法,再用加法來遞歸定義乘法等等,直到所有數論的操作都已定義完畢。然后他再利用這些定義再加上形式邏輯來證明算術方面的定理。

               歷史學家托馬斯·庫恩曾經觀察到“在科學當中,新穎性只會在困難中凸顯?!毕柌赜媱潟r代的邏輯是一個充滿著創造和毀滅的動蕩過程。一位邏輯學家剛剛建好了一套精心闡述的體系,另一位就會讓它土崩瓦解。從公理推導出的自指的、自相矛盾的陳述是深受喜愛的破壞工具。

               這段話就是“說謊者悖論”的簡單形式:這個句子是假的。如果這個句子為真,則它就是假的,如果這個句子是假的,則它就是真的,從而導致了沒完沒了的自相矛盾。羅素是第一個在數理邏輯中運用說謊者悖論的名人。

               弗雷格的體系可以推導出自相矛盾的集合:設集合R是由一切不屬于自身的集合所組成,如果R不是本身的一個成員,那么其定義表明它必須包含自身,如果它包含自身,那么它就與自己的定義矛盾,因為它由所有不是自身成員的集合組成。

               或者可以用理發師悖論來理解:在某個城市中有一位理發師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發技藝十分高超,譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人??墒?,有一天,這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉。這就是著名的羅素悖論。

               羅素悖論的提出被視為弗雷格成就的嚴重瑕疵(弗雷格本人對這一發現感到震驚。他在給羅素的回信中寫道:“你對這一矛盾的發現給了我最大的驚訝,我甚至要說是驚愕,因為它已經動搖了我打算要搭建的算術的基礎”)。

               羅素與他的同事Alfred North Whitehead(懷特黑德)以《數學原理》這部著作進行了完成希爾伯特計劃最雄心勃勃的一次嘗試,1910年到1913年間,這部著作分三卷完成了出版?!稊祵W原理》非常詳細,證明1+1=2就用了足足300頁的篇幅。

               羅素和懷特福德試圖通過引入他們所謂的型式理論(type theory,類型理論)來解決弗雷格悖論問題。其想法是把形式語言區分為多個級別或者類型。每一個級別都可以引用以下的級別,但不能引用自身或者更高級別。通過禁止自我指涉,這就解決了自指的悖論。(這一解決方案在邏輯學家當中并不流行,但是卻影響了計算機科學——大多數現代計算機語言都有受到類型理論啟發的功能。)

               自我指認悖論最終表明希爾伯特的計劃永遠也無法成功。第一個打擊1931年,哥德爾發表著名的不完全性定理,證明了任何足夠強大可包含算術在內的一致性邏輯體系都必須包含有自身為真但不能證明為真的陳述。(其實就是一致性與完備性不可得兼。得益于《皇帝新腦(G?del, Escher, Bach and The Emperor’s New Mind)》這類的書,哥德爾的不完全性定律是少數得到廣泛普及的邏輯結果之一。)最后一次打擊是圖靈和阿隆佐·邱奇分別證明了沒有算法能夠確定任意數學陳述是真還是假。(邱奇是通過發明了一套完全不同的系統來證明的,這套系統叫做λ演算,給后來計算機語言Lisp的誕生帶來了靈感。)對決策問題的回答是否定的。

               圖靈的關鍵洞察來自那篇著名論文《論數字計算在決斷難題中的應用》的第一段。為了對決策問題進行嚴格的公式化,圖靈首先創建了一個說明什么才是計算機的數學模型(符合這一模型的稱為“通用圖靈機”。)

               邏輯學家Martin Davis所述:圖靈知道,就像烹飪書的食譜那樣,一個算法往往是用一系列可按照精確的機械化方式所遵循的規則來說明的。他證明了僅用少數極其簡單的基本動作即可做到而不會改變計算的最終結果。然后,通過證明利用弗雷格規則沒有機器可以僅靠執行那些基本動作來確定給定結論是否遵循給定前提,他得出結論說解決決策問題的算法是不存在的。作為副產品,他還發現了一個通用計算機器的數學模型。接著,圖靈說明了程序以及所操作的數據如何可以存放在計算機里面,他發明了作為大多數現代計算機基礎的“存儲程序”架構:

               圖靈之前,一般的假設是,在處理此類機器時,機器、程序和數據這三類東西完全是分離的實體。機器是個物理實體,今天稱為硬件。程序是執行計算的計劃,也許是以穿孔卡片或者插接板的電纜連接的方式體現。最后,數據是數字化輸入。圖靈的通用機器表明,這三者的區分是錯誤的,任何可編碼進硬件的計算邏輯也能編碼進軟件里面,圖靈是第一個對此做出嚴格證明的人。圖靈描述的結構后來被稱為“馮諾依曼結構”——但是一般都認為這出自圖靈,因為諾依曼本人也這么認為。

               技術層面而言,希爾伯特的計劃,也就是證明眾多的數學運算可通過邏輯構造出來的努力卻是個失敗。而在香農和圖靈發現點子、邏輯與計算的關聯之后,現在已經有可能把這種新的概念性機器導出到計算機設計里面。

               在二戰期間,當政府實驗室征召若干邏輯學家精英時,這一理論性工作開始付諸實踐。馮諾依曼加入了洛斯阿拉莫斯的原子彈項目,負責計算機設計來支撐物理研究。1945年,他寫出了第一臺存儲程序、基于邏輯的計算機EDVAC的設計規范,這被普遍認為是現代計算機設計指南的明確起源。圖靈加入了位于倫敦西北布萊切利園的一個秘密部門,幫助設計可破譯納粹德國密碼的計算機。他對使用計算機設計最不朽的貢獻在于對自動計算機器(ACE)做出了規范。

               作為第一批基于布爾邏輯和存儲程序架構的計算機,ACE和EDVAC在很多方面都比較類似。但它們也有著有趣的不同,其中一些甚至預示著現代有關計算機的設計之爭。馮諾依曼鐘愛的設計類似于現代的CISC(C代表“復雜”)處理器,把豐富的功能植入到硬件里面。圖靈的設計更像是現代的RISC(R代表“精簡”)處理器,把硬件復雜度降到了最低,然后把更多的工作留給軟件。

               馮諾依曼認為計算機編程是一項沉悶乏味的文書工作,圖靈則認為計算機編程“應該非常引人入勝。編程永遠都不應該有變成苦力的真正危險,因為任何相當機械化的過程都可以交給機器本身來處理?!?/strong>

               1940年以來,計算機編程已經變得復雜了很多很多。不變的是仍然有給出規則讓計算機遵循的程序員。演繹邏輯邏輯的一個分支,計算機編程仍然遵循了演繹邏輯的傳統,做的是根據形式化規則來操縱符號。

               在過去10年左右的時間里,編程開始隨著其學習的流行而發生改變,后者牽涉到了為機器創建框架,聽歌統計推斷來進行學習。這讓編程開始向另一個主要的邏輯分支慢慢靠攏,這個分支就是歸納邏輯,也就是通過特殊實例來推斷規則。

               今天最有希望的機器學習技術是1940年代Warren McCulloch和Walter Pitts發明的神經網絡,其想法是為神經元建立一個像布爾邏輯一樣,可用于構造計算機電路的微積分。神經網絡直到幾十年后跟統計技術進行了結合,使得它們因為獲得的數據越來越多而得到改善時才為人所知。

               現在計算機變得越來越擅長于處理大型數據集,這些技術已經產生了顯著的效果。未來的編程可能會意味著讓神經網絡接觸世界并從中學習。這是計算機第二次變革。

               邏輯始于一種理解思維定律的方式,然后幫助創造了能根據演繹邏輯進行推理的機器。今天演繹邏輯和歸納邏輯并結合起來創造了一種既能推理也能學習的機器。用布爾的話來說,始于調查“人類思維的本質和構成”的努力,可以導致新思維,也就是人工思維的誕生——而這種思維有朝一日也許能趕上甚至超過我們自己的思維

         

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